Если под знаком модуля минус

Как решать уравнения с модулем

если под знаком модуля минус

Модуль числа a равен самому числу a, если оно положительное; равен нулю, отрицательных чисел надо сложить их модули и поставить знак минус. Найди ответ на свой вопрос: Если перед модулем стоит минус,то при его При раскрытии модуля роль играет не знак перед модулем. Если перед модулем стоит знак плюс, то при раскрытии модуля все знаки сохраняются. А при знаке минус все знаки, бывшие внутри.

Это задание уже чуть посложнее. Для начала уединим модуль, перенеся второе слагаемое вправо: Но ещё раз напомню, что наша ключевая цель — грамотно решить неравенство и получить ответ.

если под знаком модуля минус

Позже, когда вы в совершенстве освоите всё, о чём рассказано в этом уроке, можете сами извращаться как хотите: А мы для начала просто избавимся от двойного минуса слева: В этот раз выкладки будут посерьёзнее: Переходим к уравнению в первом неравенстве: Теперь разберёмся со вторым неравенством системы. Там придётся применить теорему Виета: Опять же, поскольку мы решаем систему неравенств, нас интересует пересечение заштрихованных множеств: Это и есть ответ.

Уединить модуль, перенеся все другие слагаемые в противоположную часть неравенства. Решить это неравенство, избавившись от модуля по описанной выше схеме. В какой-то момент потребуется перейти от двойного неравенства к системе из двух самостоятельных выражений, каждое из которых уже можно решать отдельно.

Наконец, останется лишь пересечь решения этих двух самостоятельных выражений — и всё, мы получим окончательный ответ.

Решение неравенств с модулем

Аналогичный алгоритм существует и для неравенств следующего типа, когда модуль больше функции. И тем не менее решаются такие задачи совсем по-другому. При этом варианты объединены квадратной скобкой, то есть перед нами совокупность двух требований.

Обратите внимание ещё раз: Это принципиальное отличие от предыдущего пункта! Вообще, с объединениями и пересечениями у многих учеников сплошная путаница, поэтому давайте разберёмся в этом вопросе раз и навсегда: Чтобы ещё проще было запомнить, просто пририсуйте к этим знакам ножки, чтобы получились бокалы вот только не надо сейчас обвинять меня в пропаганде наркомании и алкоголизма: Разница между пересечением и объединением множеств В переводе на русский это означает следующее: Поэтому пересечение множеств никогда не бывает больше множеств-исходников.

Да ничего — всё то же. Переходим от неравенства с модулем к совокупности двух неравенств: К сожалению, корни там будут не оч: Однако отмечать точки нужно в правильном порядке: И вот тут нас ждёт подстава. От ответа на этот вопрос будет зависеть расстановка точек на числовых прямых и, собственно, ответ. Случай некрасивых корней Напомню, мы решаем совокупность, поэтому в ответ пойдёт объединение, а не пересечение заштрихованных множеств.

если под знаком модуля минус

Но вопросам сравнения будет посвящён отдельный и очень серьёзный урок. А мы идём. Он работает во всех неравенствах, где слева и справа стоят гарантированно неотрицательные выражения: Никаких дополнительных ограничений при этом не возникнет.

если под знаком модуля минус

Прежде всего нас будет интересовать возведение в квадрат — он сжигает модули и корни: Но это совсем другая история это как бы иррациональные уравненияпоэтому не будем сейчас в это углубляться. Давайте лучше решим парочку задач: Сразу заметим две вещи: Точки на числовой прямой будут выколоты. Обе стороны неравенства заведомо неотрицательны это свойство модуля: Следовательно, можем возвести обе части неравенства в квадрат, чтобы избавиться от модуля и решать задачу обычным методом интервалов: Дальше можно перенести всё вправо и расписать разность квадратов.

Переходим от неравенства к уравнению: Избавление от знака модуля Напомню для особо упоротых: Поэтому сегодня будет большой урок, посвящённый решению уравнений с модулями. И вообще модули — вообще тема относительно несложная. У меня от неё мозг разрывается! И цель этого урока — превратить хрень в знания.: Немного теории Итак, поехали. Начнём с самого важного: Вот так всё просто?

А чему тогда равен модуль положительного числа? Нетрудно заметить, что это за числа, у которых модули одинаковые: Таким образом, отметим для себя, что модули противоположных чисел равны: Какое бы число мы ни взяли — хоть положительное, хоть отрицательное — его модуль всегда оказывается положительным или в крайнем случае нулём.

Именно поэтому модуль часто называют абсолютной величиной числа.

Ответы@dionugitac.tk: как раскрыть модуль, если перед ним знак минус?

Кроме того, если объединить определение модуля для положительного и отрицательного числа, то получим глобальное определение модуля для всех чисел. Можно записать это в виде формулы: Кроме того, ноль — единственное число, которое не имеет противоположного. Но это ещё не всё: Помимо чисто алгебраического определения, есть геометрическое. Допустим, есть две точки на числовой прямой: Или, если угодно, длина отрезка, соединяющего эти точки: Модуль — это расстояние между точками на числовой прямой Из этого определения также следует, что модуль всегда неотрицателен.

Но хватит определений и теории — перейдём к настоящим уравнениям.: Основная формула Ну хорошо, с определением разобрались. Но легче-то от этого не. Как решать уравнения, содержащие этот самый модуль? Начнём с самых простых вещей. Рассмотрим что-нибудь типа такого: Кэп как бы намекает, что.

Так может, если поискать, подумать, мы найдём ещё числа? Теперь немного усложним задачу. Про него сразу можно сказать: А вот с первым уравнением всё веселее.

В первом случае наше уравнение перепишется так: Теперь разберём случай отрицательного подмодульного выражения: Решаем полученное уравнение, при этом уже точно зная, что найденный корень нас устроит: Так может, существует какой-то универсальный алгоритм? Да, такой алгоритм существует. И сейчас мы его разберём.

если под знаком модуля минус

Тогда можно избавиться от знака модуля по следующему правилу: Вот и вся технология! Попробуем решить парочку уравнений. Всё решение заняло буквально две строчки. Ок, не вопрос, давайте рассмотрим что-нибудь чуть посерьёзнее: Как я и говорил, в модулях нет ничего сложного. Нужно лишь запомнить несколько правил. Поэтому идём дальше и приступаем с действительно более сложным задачам.

Случай переменной правой части А теперь рассмотрим вот такое уравнение: Как быть в таком случае? Во-первых, надо раз и навсегда понять, что если правая часть уравнения окажется отрицательной, то уравнение не будет иметь корней — мы уже знаем, что модуль не может быть равен отрицательному числу.

если под знаком модуля минус

А во-вторых, если права часть всё-таки положительна или равна нулюто можно действовать точно так же, как раньше: В конце концов, можно тупо подставить корни, которые мы получим из первого уравнения, и проверить: Поэтому решим-ка само уравнение: Поэтому в ответ пойдут два числа: Вот и всё решение.: Подозреваю, что кто-то из учеников уже начал скучать? Что ж, рассмотрим ещё более сложное уравнение: Пока лучше займёмся полученными уравнениями.

А получится вот что: Ну и что из этого набора пойдёт в окончательный ответ? Для этого вспомним, что у нас есть дополнительное ограничение в виде неравенства: Да просто подставим найденные корни и проверим: И в ответ пойдут лишь два корня: Нужно лишь хорошо разбираться в многочленах и неравенствах.

Поэтому переходим к более сложным задачам — там уже будет не один, а два модуля. Уравнения с двумя модулями До сих пор мы изучали лишь самые простые уравнения — там был один модуль и что-то ещё. Но детский сад закончился — пора рассмотреть что-нибудь посерьёзнее. Начнём с уравнений вот такого типа: Принципиально важным моментом является отсутствие других слагаемых и множителей: